請問教學長～為什麼分數題答錯率這麼高？

Q：

　我是一個國小老師，近期全市學力測驗有一題數學的測驗結果令我驚訝，題目如下，這一題答對（答案④）的學生，全市只有40％，其中高分組學生也不是百分之百都答對，而錯誤的答案中選擇答案②的，低分組學生佔60%，高分組學生佔17%；我的學生中就有很多選擇答案②的，很想知道學生到底發生什麼事？平時成績似乎不見得反應在學力上？我怎樣在教學上幫上孩子們的忙？還請教學長不吝賜教。

Ａ：

　這個問題是老師關心學生，我必須充分回答，因為關心老師。

1. 題目的問題

　讓我們來想一想：一句話配上一幅圖，這道三年級的測驗題，小孩看得懂題意嗎？

　問題不在字數的多寡。像「ＸＸ佔全部的幾分之幾」這樣的句子，「全部」二字是關鍵，但是很少小孩能明白：談到「幾分之幾」的時候，前面為什麼要加上「全部的」？

　追本溯源，問題出在課本教分數的方法，它從不曾認真教小孩「學說話」。因為不瞭解整句話，小孩只能抓取「著色部分...幾分之幾」這些字眼，跳過不懂的地方。如果是一般的情況，雖然含混，也就應付過去了。現在遇到這陷阱，他的眼光被左上和右下那2個方塊吸引，又沒有理由去注意右上和左下的空白（他不清楚，所謂「全部」要衡量的範圍是哪裡）──

　他可能就這樣想：既然1個方塊被分成２份　

，這方塊裡塗顏色的這份是1/2，另一個方塊裡有同樣的1/2，合起來就是2/2──因此選擇答案①。

　他還可能這樣想：1/2加1/2變成2/4（把分母也加起來，這是常見的錯誤）。或者可能這樣想：兩個方塊總共被切成4份，裡頭有2份塗色，所以是2/4──因此選擇答案②。

2. 問題的彌補

　總之，選擇①②的小孩只注意到兩個吸睛的小方塊，不知道要比較的範圍是整個大正方形。其實這並不奇怪，如果換個情境來體會：假想你的家人下達指令：「全部的蘋果要『拿一半』送給鄰居！」結果，你只包走桌上的一半，沒察覺地上還有個箱子，裡面有很多蘋果；這時家人責怪：「我明明有講『全部』啊，怎麼沒注意！」你大概會反駁：「幹嘛不講清楚箱子裡還有，要和桌上的合起來算」──對吧？

　所以，題目的出法應避免含糊，至少要這樣修改：先出示未做任何分割的大正方形，聲明那是「全部」的範圍；再提出目前的圖示，說明是經過分割塗色，要問「塗上顏色的部分」是「全部」的幾分之幾？（至於要不要改得更好，添上實際的情境？這是另一個議題，在此就不細說。）

3. 治根本要建立語感

　不過，我們都知道，改變考題並不能解除小孩「看不懂句型」的病根，這時候就需要服用「想想藥方」了，它專治「語感不足，概念有缺」的症頭。

　在三年級〈數學想想〉的「幾分之一」這單元，先以最簡單的1/2為例，從各方面帶小孩掌握與分數有關的語言。首先，小孩必須瞭解，「二分之一」若斷句讀做「二分、之一」，它代表兩步驟的動作，如下圖：

也就是「平分成二份、拿出其中一份」。而在「二分之一」這幾個字裡，「之」是生字，需稍加解釋；若照字面翻譯，「二分　之　一」就對上「二份中　的　一份」。

既然「1/2」指出分與拿的動作，我們自然會想，到底是要分什麼呢？當然，任何數量都可以拿來「二分」；因此，將具體的例子做成如下的表格，我們帶小孩體會：

　‧分的對象稱為「全部」，那是會改變的項目，數量可以任意指定；

　‧以同樣的「動作」拿出1/2，所拿的「部分」會隨著全部而改變，所以要說是「全部的1/2」；

　‧大家用一句話來說明「全部－動作－部分」這整件事。例如，聽到前半句「4個的1/2」（全部有４個，以及該怎麼分、怎麼拿），本來也就能掌握結果，只不過別人會問：「拿出來的有幾個啊？」所以，再補充後半句，形成一個完整的說法，就說「4個的1/2是2個」。

4. 在情境中體會語言的細膩

掌握了標準說法，接下來，我們邀請小孩想一想：1/2和1/2條，有什麼不同？這樣的「一字之差」出現在熊與貓的對話中（如下圖），他們各自想吃什麼？小孩很容易自己發現：說「1/2」的時候，心中已認定了全部的範圍；「說「1/2條」的時候，想的是「一條的1/2」！

這段教學的內容，再次凸顯「全部」在分數表達裡的重要。有趣的是，有時候竟然不明說，正如熊只講了「我要吃掉1/2」，旁人卻可以揣摩得知：他眼前的那些魚是所關心的全部的範圍。這種不靠言說、彼此領會的情形，是生活溝通的常態；數學上的溝通，當然也不例外。

經過上述仔細的分析，小孩瞭解關於分數的種種說法之後，老師才去更改分數值，從1/2改成1/3、1/4...等等，這時候他們多能舉一反三。

5. 想知道拿出的是幾分之一

最後，我們帶小孩研究標準說法的「疑問句」，從「6個的1/3是幾個」進展到「2個是6個的幾分之一」這類較難的問題（所求項目設定在分數上）。在問句裡的數量，也可以換成圖形，例如一段路線、一個圓餅、或一塊方形的地等等；對小孩來說，圖形問題可能更容易衡量。不過，這段教學的細節，除了語感之外，還有要怎麼衡量出幾分之一，在此我就不加詳述，要請你參看〈數學想想〉了。

　至於那說法裡的「是」字改成「佔」，它跟「佔位子、佔領」裡的「佔」是同樣的意思，這就要請老師跟小孩稍加解釋了。

6. 錯了很高興

　回到原來的考題上，我認為要經過前述第3項至第5項的思索，小孩才能真懂得題目的句型。以這個標準來說，答對的小孩只是比較會考試：他們做過一些類似題，甚至知道「圖形沒有等分」是老師喜歡布置的陷阱，所以會特別小心，注意到那兩個空白的方塊也要斜切。

我們主張數學要多想想，在想想的精神裡，最重要的是「錯了，要很高興！」因為，錯是對的開始，錯了以後我們才會真正的對（而不是恰好矇對）。這不只用來鼓勵小孩，也適用於老師；正因為小孩答錯了，我們注意到課本的盲點，發覺在哪裡教錯了（沒教對），這樣就可以超越它，提升我們的教學，當然會－很－高－興－囉！！