他也許比「李家同們」更有心胸～再談「怎麼討論1/2 + 1/3」
針對李家同的「 1/2＋1/3 ，要孩子怎麼討論？」，「叫國中生討論是沒有意義的，因為他們根本不懂要怎麼討論」，我們製作了一支短片，就叫做 「讓我們告訴李教授要怎麼討論 1/2＋1/3」 ；在短短一個禮拜之內，得到七十多萬次點閱，和七八百通的留言。這是我們第一次嘗試用「流行」的，也就是簡短、快捷、多畫面少論述的方式來說明一個概念，結果就是，雖然回響很大，但誤解也不少。現在，我試著做一些澄清；無奈的是，只怕那些真正需要澄清的人，大概也不耐煩看吧？
先來解決最簡單的問題：有些留言說「好難噢，大人都看不懂了，怎麼教小孩？」這很容易回答：不就說好是「告訴李教授…」嗎？那影片本來就是給大人看的，教小孩的時候，當然不能這樣三言兩語帶過（ 詳見「數想」相關章節 ）。連這麼明顯的區別都不能領會，應該也是這位「大人」看不懂的原因之一：從小就失去「想想」的能力，只能接受聽慣了的話語；面對新的東西，就無法有效提取其中的訊息－－不然，這麼簡單的小學算術的話題，同不同意是一回事，怎麼可能「看不懂」呢？
另一種留言是說「講太多錯誤示範，小孩反而困惑」：這回不說自己不懂了，只是一口咬定小孩不懂；但沒有一個人提出證據，或描述小孩到底是怎麼「困惑」的－－所以，這些都是純屬想像，用自己過去的經驗硬套在小孩的頭上。對大部份的人而言，數學就是一場惡夢；但人們只記得自己搞不懂，不會做，被責罵，其實並不記得自己搞不懂的到底是什麼：正是因為搞不懂，所以忘記了－－人本來就記不住自己不理解的東西，不理解的痛苦倒很難忘得掉。
所以，教數學的人，最基本的任務，就是向小孩學習，學習他的困難之所在，然後嘗試用各種方法去協助他。這個過程，正是李家同所反對的「討論」：是在討論的一來一往的對話之中，我們可以和小孩的思路接軌。討論的目的，正是為了幫助小孩克服他的「不懂」；但李家同和李家同們，卻用小孩「不懂怎麼討論」做為理由，拒絕去「懂得」他們號稱要去解救的小孩。
這之間的落差到底是怎麼來的呢？讓我們進入教學的細節 （抽象語言只能帶來口水戰）：一開始的時候，是先呈現「田」字圖形的1/4 （用陰影表示），加上另一個「田」字圖形的1/4 ，問小孩：這兩個「1/4 」加起來 （當然是先解釋過1/4的意思）會是多少？（影片中直接講1/2 ＋1/3 是為了配合李家同的說詞）
大膽一點的小孩會說是2/8(圖一)，謹慎的小孩雖然沒出聲，也會露出「原來如此」的表情。在我們長年的教學經驗裡，這樣的反應，幾乎毫無例外，所以，這個「迷思」（即錯誤），並不是我們的「示範」，而是任何一個小孩自然會有的「想法」。那麼，一般的老師或家長為什麼很少發現小孩會有這樣的迷思呢？
因為，他們從來不問小孩的「想法」，只是急著「告訴」小孩應該怎麼做。「不要呈現錯誤的答案給學生看，學生就不會有誤解了嘛」這樣的留言，正是一種不自覺的「招認」：透過一再而三的「正確示範」，在小孩能「慎思，明辨」之前，他們就一舉否定掉小孩對於事物最直觀、最純樸、最貼近他內在感受的自然反應，也就是取消了「慎思，明辨」應該的對象；然後再反過來說，你看，小孩根本就不能、不願意「思考」啊，並加以引申，說學生「根本不懂怎麼討論」！（「討論」就是和別人分享、交換、並用心對比彼此的真實的感受）
有識之士都會痛砭「填鴨式教育」，但很少人知道，所謂「循循善誘」、「愛心耐心」、「回歸基本」（也就是「只教基本計算」） 式的教法，無論出發點多麼善良（就像李家同那樣），但因為不重視小孩的想法，特別是那些在大人看來天馬行空的想法（例如1/4＋1/4 ＝2/8 ），其實仍然是一種填鴨－－又因為填的方法充滿善意，鴨子就更沒有「回嘴」的餘地；在這同時，小孩就一步一步失去想像力、創造力、以及向未知世界前進的勇氣！
「通往地獄的路，往往是由善意鋪成的」，特別是一手拿聖經的人，無論另一手拿的是課本還是刀劍，都應該認真思考自己到底在做什麼。
然而，不論是否一手拿聖經，凡是面對小孩的人，都要非常謙虛。所以，當小孩「無辜」地展現他那2/8的迷思的時候，我們不是立即指出他的錯誤（好像引蛇出洞似的），而是要先肯定他的「無畏」：在聽從他人教導之前，能先嘗試自己解決問題。然後才慢慢解釋，人類的語言有一個不成文的約定：一句話中的角色，特別是那些沒有「指名道姓」的，應該都是同一個人物；例如，在「一出門就發現忘了車票，急急跑回去拿」這句話中，「忘了」和「去拿」的當然是同一個人，絕不能因為句中沒有指明，就可以偷天換日而變成兩個角色。同樣的道理，說1/4的時候，沒有指名道姓地說是「田字形的 」，但這「田字形」的角色是一直都在的；等到說「相加等於2/8」的時候，自然會被解釋為「田字形的2/8」，這就造成了誤解，因而就是一種錯誤的說法了。
我們會讓小孩知道，他的意思其實是:「田字形的1/4，再加上一個田字形的1/4，等於兩個田字形的2/8 」，這不但沒有錯，還真是意味深長－－不細想的話，還不能體會你話中的玄機！但我們知道你的意思，只是，如果省略那「一個田字形」或「兩個田字形」的話，你的說法就不符合人類語言習慣！
這樣，小孩在明白自己錯在哪裡的同時，還知道自己對在哪裡，所以，並不會全盤否定自己。接下來，我們讓小孩練習造句；句中都不要提人名，也不說你、我或他，並讓大家討論聽到的人會怎麼理解（這一部份也是作文的練習，以去除「通篇都是他、他、他」的毛病）。然後，再讓小孩練習向別人解釋：1/5＋2/5為什麼不是3/10，同時回家去問父母，看父母能不能像他那樣解釋的那麼清楚 （這是間接協助父母提升教養能力）。
等到以上這些都搞定了，下一課才是 1/2＋1/3 的算法 （全世界都是先教「同分母加法」，再教「異分母加法」，只是多數人不知道「同分母」有什麼好教的）。這一次小孩會非常在乎「是什麼東西的1/2，什麼東西的1/3」，一開始，他們會以為兩個東西不一定要一樣，因為1/2， 和1/3是不同的分數啊，或者，前者是田字形的1/2，但後者可能就是圓餅的1/3 了（圖二）。這時候，我們會先讓小孩嚐試答案會是「什麼東西的2/5？」；發現「什麼的2/5」都不對的時候，就可以說明：數學通常只能解決簡化過的問題（在哲學上，這叫做「化約主義」），所以，我們只會處理「同一個東西的1/2和1/3相加」，因而答案也只能是「那個東西」的幾分之幾。
因為大前提是「同一個圓餅」，小孩會試著把1/2和1/3畫在同一個圓餅上－－這是之前所打下的重要基礎：任何計算，都必須使用「同一個單位」；也可以說，之前所有的努力，就是為了引向這關鍵的一步。然後，重要的事情就發生了：他們很快就「看到」有一個缺口（ 圓餅上1/2和1/3之外的部份），而那個「缺口」應該是「 1/2的1/3」，或「1/3的1/2」（圖三）－－內行的人應該知道，這其實是「歐基里德輾轉相除法」的基本精神，但我們無法在此申論這一點！
於是，「1/6」這個神祕的分數就出現了。「通分」，這個從天上掉下來的絕技，對於我們的小孩而言，要不就是他自己發現的，要不就是在「討論」的過程裡自然而然出現的。於是，他覺得這個世界是「合理」的，是他可以掌握的，是他樂於在其間實現他的生命，並與他人共享的。教數學嗎？不，我們是在教「人」，使人成為一個人，而不是權威者的附庸，或幫兇！（如果分母是其它的數字，也許要換成「長方圖」才比較容易看出「公分母」〔圖四〕）
當然，又有人會說「要趕進度啊」，「小孩不肯想啊」........我們建議，先改變一下「自己是個工具」的心態，試著去欣賞小孩的「想法」，小孩就會「想」給你看了；至於進度云云，其實是一種取捨：一方面可以酌量捨去某些很佔時間的繁瑣演算，一方面也不一定要依照我前述每個細節進行（可以視情況濃縮討論過程）。總之，先把心打開一點吧！
最後，還要回應一種留言，說我們是利用李家同賺點閱率。事實是，因為李家同團隊真的會影響很多小孩，我們於是真心希望他能「更懂得一點教育」，不要憑著一股熱心跑到偏鄉去，只會重複傳統的教法，反倒更強化了制式教育的為害－－當然，這有一個前提：我們不可以預設李教授「不懂怎麼討論」。
關於這一點，其實是有「歷史」的。多年前，李家同在報紙上發文批評一道「判斷三點是否共線」的題目，說「怎可讓還沒學三角的國一生求直線斜率」，理由是「要先會算斜率，才能求出直線方程式」；我寫了一篇題為 「制式教育的為害」 的回應，把其中可能涉及的「新的教學」，就像這次一樣簡短地「告訴李教授…」。後來發現他在自編的「國中數學」的「序言」裡說，已經知道怎麼不用三角函數求出通過兩點的直線方程式（雖然我強調的是根本不需要先求方程式）。
這就可見，李家同很可能比某些「李家同們」更有心胸；「讓我們告訴李…」這個標題，其實是要表示，他，也許，還不是，完全沒有希望…..
◎本文同時載於「人本教育札記」第335期
