數學中的異化

從某個時候以來，我總覺得小孩學的，並不是「自己的數學」；那麼學校教的，又是什麼數學呢？無以名之，權且就稱之為「他們的數學」吧？

這樣說會讓人覺得奇怪，好像是刻意劃分你我、製造對立；但請大家想一下，如果聽到有人說「走得腿都不像自己的了」，或說「這假牙雖然好用，但畢竟不是自己的」，您是能體會他那「格格不入」的感覺呢？還是責怪他「個性不好」？

是的，一般人學數學，總是多少有那麼一點格格不入的感覺；若是逼他一定說出個所以然嘛，他又說不太上來－－總之，或者，就是，有那麼一點「異物感」，好像鞋子裡有個小石頭，或是眼睛裡進了小飛蟲，不然就套個「如梗在喉」的成語也行；總而言之，就不是身上應該有的東西，或者說，雖然是自己的身子，但已經被強加了不屬於自己的東西。

這並不是在說俏皮話兒，或繞口令兒，而是予豈好「喻」哉，予不得己也；因為直接說不清楚，不得不透過以上那些比喻，讓大家感同身受一下小孩的現在，或自己的從前，淪落在「他們的數學」之中的那一番難以言傳的滋味。然而，這並無助於解釋「自己的數學」到底是什麼，畢竟人們從小到大從來不曾見過這種東西；也無法讓大家相信，如果真的是「自己的數學」，就能讓人舉手投足，瀟灑自如。

所以怎麼辦呢？萬不得已的辦法，也就只能是舉例說明了：予豈好「例」哉，予不得已也。以下要舉的例子，請大家原諒，要稍稍有一點難度；因為，否則很難達到說明的目的，或者又會被解釋是在提倡什麼「生活化」。

例如，教到「共軛（conjugate）複數」，課本就只會下定義，說a＋bi 的共軛就是a－bi，然後不斷強調a和b必須是實數；但對任何「正常人」來說，這都是天外飛來一筆。他理當心中有個os：「就只因為長得很像，或只差個負號，就硬把兩個拉在一起嗎？那為什麼不說1＋ 2/3 和1－ 2/3 是『共軛』帶分數？」不過，在現實上，能這樣提問的學生非常之少，因為學「他們的數學」到高中，整個人已經失去「正常」的反應了；至於老師，更無法想像世間還有這種問題，總以為照課本「下定義」本來就是他的專利：當上老師的先決條件就是充分地被「他們的數學」異化，被「異物所同化」－－「異化」這個社會科學的專有名詞用在這兒，還真是意外地恰當！

所謂「異物」，也就是上述的「天外一筆」，之所以「不是自己」的，或很難變成自己的，主要就是因為整個教學的過程，是以「去脈絡化」的方式把一個名詞硬塞給學生，然後叫他做許多「不知為何而戰」的題目。正是因為把「前因後果，來龍去脈」都拿掉，只講那兩個數「外在的樣子」，不談它們「真正的身份」；結果就是讓人摸不著頭腦，抓不到要義，只能在別人的指揮下忙來忙去，以至於失去自己的面目，找不到自己的手足，和自己產生巨大的「疏離」－－這正是生產線上的工人被整個資本結構「異化」的寫照。

那麼，如果是「自己的數學」，會是怎樣的呢？首先要講的，是所謂「軛」到底是指何而言，而所謂「共」軛，到底是怎麼個共法？這事的實情，也就是「真正」的數學內涵（姑不論自己還是他們，只就數學論數學），是這樣的：複數或虛數這種東西，原本在實數中是沒有的；那它們怎麼跑出來的呢？是因為要解「實數係數方程式」，正如當初因為解X2＝-1 這個方程式而創造出虛數i。然而，有趣的地方就這兒：一旦有了i這個根，-i自然也就是根了，因為X右上角的那個平方，會吃掉負號；而a＋bi的情況也類似：它也滿足一個實係數二次式，而那個二次式也有另外一根，恰恰好就是a－bi（這很容易證明）。

換言之，a－bi是被a＋bi「帶」出來的，因為它們滿足同一個「實係數二次式」；解這個二次式，就會同時解出它們兩個。這個事實，是建立在它們的「來歷」（即解方程式）之上的，因而是它們的真實的身份的不可分割的重要部份，絕不應該像通行教科書那樣略去不講。這樣一個精采的「實情」，理當有個「形象的」描述，數學家就說它們是「共負一軛」（註）：「軛」就指的是同時解出它們兩個的那個二次式，而「共」當然就指「同時存在」這個只要有眼睛就無法看不到的真相！

「自己的數學」要講的還不止此：這個詞其實是出自聖經，「信與不信的，不可同負一軛」（哥林多後書）；這明確地提示我們，表面上看是在講「同」，但重點其實是在另一面，或反面，即「不可被拆開（而和不信的在一起）」，也就是反對「異」。講到這裡，學生「理當」會問：複數的共軛也有這個「重點」嗎？如果複數的共軛沒有這種「不可拆開」的反面的意涵，那麼，動用這麼「沉重」的一個詞彙，只是要說它們「共享同一個方程式」，不顯得太過賣弄、太過誇張、故意聳人聽聞嗎？

這樣，就可以講到「共軛」這個概念之所以值得一論的原故了，也就是那個重要的定理：「實係數多項式，如果有某複數為根，則它的共軛複數，也必然是根」，也就是「共軛複數必成對出現（在實係數多項式的根之中）」；換言之，就做為實係數多項式的根而言，相互共軛的複數，是不會被拆散的！如果順著以上的脈絡，這個定理的證明會變得很簡短，很自然，很容易理解；同樣的方法還可以證明，例如，√2±√3 、 -√2±√3 這四個無理數，因為「共」一個有理係數多項式為「軛」（如上圖），所以會同時出現在任何有理係數方程式的根之中：任何有理係數多項式，若其一為根，另外三個也必然是根；它們就是這樣「共軛」的！對照之下，通行教科書上的證明就太繁複，太機械，太刻意，難怪多數學生只能死記結論，而無法產生「本來就該這樣」的共鳴！

以上概述的「自己的數學」，其實正是「數學家的數學」：數學家所研究的數學，或在數學上的研究，當然是有血有肉的，貼近人的感覺與意識的，緊扣著某個有意義的問題的，而絕不會是沒事找事幹，讓自己投身在「不知道要幹什麼」的事情上，或吞下「不知道是什麼」的異物；所以，數學家的數學，當然是「自己的數學」，又因為數學家是人，正常的人，有血有肉的人，所以和我們的「自己的數學」一定有相連的通道，而不會變成「他們的數學」。當然，數學家一定比我們想得更深，見得更遠，在數學上；但也正因為如此，我們要學他的「自己的數學」，來建構我們的「自己的數學」，就可以開拓自己的思想，健全自己的頭腦，強壯自己精神。也正是為著這樣的理由，而不是為了生活上的應用，或取得某種有價的文憑，數學才是全世界青年人必修的科目。

奇怪的是，通行的教科書，以及隨之而來的數學教育，完全不走這條路線；講「質數」的時候，只會重複「除1和自身外沒有其它因數」這種拗口的符咒，或強調「1不是質數」這種無意義的教條，完全不從「因數分解」的脈絡上去解釋：「質數」無非就是分解到無法再分解的那種數－－這是在做任何分解的工作的時候，一分再分之餘，最後勢不可免的一種「邂逅」。

他們不但背棄了青年人的需求，也背叛了數學本身做為文明瑰寶的那個典範。事情為什麼會變成這樣？有一種可能是，弄數學教育的人，根本不做數學，或者不是「做數學」的那種數學家；或者他們也做數學，但要對青年人講學的時候，就把真正的數學收起來，又回到他自己小時候在「他們的數學」中力爭上游的情境中去，認為憑什麼你們不必像我當年那樣吃得苦中苦？

他們，正是被「他們的數學」異化的結果！

（有關共軛的進一步討論及定理証明等等，請參見下方QR code）