讓它去算，讓我來想～你能用小計算機算出餘數嗎？
數學想想五下第二冊親子手冊摘錄
數學想想五年級這一課，觸及的幾個議題，在數學教育上都是很重要的；現在，就讓我們來談談其中的要旨：
一、加減乘除的演算，要精熟到什麼程度？
我們的主張有二：一是不必要求算得很快，只要確保能算得對，即使步步為營、每一步都深思熟慮也無妨；二是不必要求算很大的數字，最多乘以、或除以三位數就可以了——遇到必須算得很快，或算大數字的場合，學生應該能夠順利地運用掌上型小計算器，就像今天每一個成人都會做的那樣。
僅僅就在幾十年前，數字的計算還是一項重要的技能：除了一般人都必須相當精熟筆算，以應付日常生活所需；特殊行業的人，還必須能珠算，以便掌握更大數字，或更大量的計算。但是，時代的進步非常之快，常常快到讓「教育家」 —— 他們的特長就是教導過去的東西 —— 跟不上的地步。在今天這個「資訊時代」，掌上型小計算器隨處可得，到底還有誰會用到筆算呢？筆算已經是一項「過時」的技藝，就像騎馬射箭一樣 —— 如果為了「禮樂射御書數」這個偉大傳統，現在還要每個學生都「精熟」騎射，那不是世界級的笑話嗎？
提起偉大傳統，並不是無的放矢：僅僅就在不多久之前，教育家還堅持叫學生用毛筆寫字，說那是固有文化呢！對照之下，現在小計算器在學校遇到的阻力，就和當年的原子筆一樣 ——任何一項新事物要想進入學校，都比登天還難！ 如果人們能對教育也來「想想」，就像我們的小孩在數學上想想那樣，大家應該都會同意，別再拿演算的「精熟」來煩小孩了吧！
二、為什麼不完全放棄筆算？
筆算有一個機器無法取代的價值，就是「估計」。所謂估計，是這樣一種心智活動：先在心裡記得某些簡單的計算結果，例如「三七廿一」，然後在一個較複雜的情況裡，很容易就可以得到一個大概的、雖不精確卻已足用的答案，例如「三百多乘以七百多，大概會是二十多萬」。學會筆算的人，只要稍加練習，通常都能順利地做出估計；反之，如果連最基本的演算都得靠計算器，那就完全失去了「數量感」——而數量感的缺乏，在很多情況下會影響到對某個問題的思考，這是心智能力的極大損傷。
也正是由於以上的考慮，小孩不但應該會背九九乘法表，也應該熟練一位數的加減；只不過，如果我們明白演算速度不是最終的目標，就可以給小孩多一點的時間練習，而不必急在某個階段上一定要達到某個標準，只要他在長大以前，或小學唸完之前，能有一個一般的表現就可以了。
另外，乘和除，或分數的筆算，還有另外的價值，就是，這些算法的道理或來歷，都是極為重要的文明發展累積的成就；如果我們希望培養一個文明人，一個有能力傳承文明的人，這個人最好從小就能體會他的祖輩們的聰明才智——我們也教給小孩文字、音樂、美術、乃至處理人際關係等等的能力，這些都是文明的承傳。
把筆算放在這樣一個思考的脈絡裡，我們就可以很清楚地做出這樣一種分際：教給小孩的筆算，是重在那個算法，那個算法中的思想的層面，而不在其實際的應用——實際應用的時候，即使只是兩位數乘兩位數，用小計算器也不會惹人嘲笑。換言之，數學教育中除了必須保留筆算之外，還必須釐清筆算的目的和意義，同時，適當地引入小計算器。
總之，小孩學筆算，是要學那個算的方法，以及何以可以那麼算的理由，而不是為了要算出一個數值來。
三、如何將以上的「考慮」付諸實行？
本課其實是一個典型的demo，展示了如何把機械的計算交給計算器，並在筆算中留下思考的空間，正所謂「讓它去算，讓我來想」也。我們設計了三個問題：
1. 如何用小計算器求餘數？小計算器所顯示的答案，總是帶著小數的商，而無餘數；解決了餘數問題，也就可以用小計算器把假分數化為帶分數。 2. 當被除數的位數過大，超過輸入的限制，怎麼利用小計算器做除法？ 3. 怎麼知道用長除法（又稱直式除法）一步步減到最後所剩下的，就是真正的餘數？
前2項問題很簡單明瞭，也很容易可以看出，它們緊扣著直式除法的原理；如果不明白直式除法的原理，也就無法解決這兩個問題。第3個問題有一點複雜，單是要懂得問題的本身，以及它到底在問什麼，就得花一點力氣。正是在這兒，我們認為是數學教育真正應該花力氣的地方。
四、數學教育的核心：教小孩懷疑
用小計算器求餘數的方法，是直指餘數的基本定義：餘數＝被除數－（能被整除的部份）＝被除數－除數×整數商；其中「整數商」可以取小計算器所顯示的商的整數部份，代入上式，就得到餘數了。
但一個「想想」有素的小孩，會自然有一個問題：這樣算出的餘數，會和傳統直式中一層層減下來的「所謂餘數」一樣嗎？
這是一個合理的問題，因為從實際情境例如蘋果裝箱來想，總數＝被除數，每箱可裝的數量＝除數；那麼，當然地，商＝最多可裝箱數，所以，餘下裝不到一箱的數量，也就是餘數，自然就是：餘數＝總數－已裝箱＝被除數－除數×整數商，這正是餘數的原始定義。所以，用小計算器這樣算出來的，才是「真正」的餘數；相形之下，長除法一層層減下來的，就值得懷疑！
主要的疑義，當然就在：直式中一層層減下來，和用小計算器只減一次，這兩種「減」的效果，為什麼非得相同？依著這條思路，理所當然地，就要回頭去檢查直式除法那個「巧妙」的格式之中，到底隱藏了什麼玄機。最簡單的檢查，就是再用對照法：拿「除數×整數商」的直式乘法中層層相加的過程，和直式除法中層層相減的過程，做一詳細對比，最後就會發現，直式除法中層層減去的，正是「除數×整數商」！
其實，以上的這個檢查，是所有有關直式的教學，都欠小孩的一個解釋；即使是在數學想想裡，之前我們也只解釋了直式除法為什麼可以得出「真正的商」，至於餘數，則是在這一課裡才做了交待。值得注意的是，這個遲來的交待，和「引入小計算器」直接相關；我們把它安排在這兒，也是因為要用小計算器求餘數，必須一而再地回顧餘數的原始意義——而只有在餘數原始意義深入人心之後，才有資格懷疑直式除法得出的餘數的身份！
以上，我們同時展示了數學教育中最核心的任務：教小孩懷疑；俗語說：做人要在可疑處不疑，做學問要在無疑處感覺可疑，此之謂也。
