除以的意思

文：數想國資深教師 頭頭

數學想想三年級下學期才正式進入除法單元。已經不知道是第幾遍上這一課，但每次上，還是被驚艷一次，這是獨步全球的教學了吧!誰說數學、語文不能合科，合科更能理解意思啊！

一上課便拋問題。

「6+2 念作6加2，6-2 念作6減2，6×2 念作6乘2 (有時也念6乘以2)，6÷2 卻一定得念作6除以2，不能念6除2，(6除2的算式寫作2÷6)。」

「÷一定得念「除以」，除以是什麼意思？」孩子們回答:「是分的意思、平分。」

「那跟除以這兩個字有什麼關係？」

「啊!就……」孩子們剛剛說平分的理直氣壯，就消失在無法接續的話尾。

「如果是分的意思，那就念作6分2，不是比較好了嗎？為甚麼是「除以」？或者為甚麼不用「除」就好，還要多個「以」？」

孩子們的表情顯示這的確是一個沒有想過的問題。

接下來，就是要來想想「除以的意思」。

從數想課本裡阿公的故事中，抓出成語解釋意思：「以」貌取人、「以」一當十，「以」退為進，飽「以」老拳，委「以」重任。孩子們自己歸納出：「以」是用的意思。有人更敏銳地發現飽「以」老拳，委「以」重任，的以在第二個字，跟前面三個成語不一樣。我說對!這是倒裝的句型。

我再進一步解釋「飽以老拳」，是用老練的拳頭餵飽他，意指打人打得很厲害。

汎汎說：那 委以重任 就是用重要的任務委託他信任的人。」

接著，請孩子們練習從「飽以老拳」、「委以重任」的句型語感中，自己嘗試解釋「除以十二」

小亘：用12來清除。

bingo！！老師的快樂，簡單、無價。花一個跨頁的篇幅，10分鐘的教學，就是為了引誘小孩自己從腦迴路思考中，從他們嘴中提煉出這一句: 除以十二，就是用12來清除。

感謝劇本那麼精彩，小孩配合演出。順利開啟第一幕。

第二幕從拔雜草的情境揭開續幕。36株雜草，一次清除12株，清除3次才能清除完。可以寫作：36-12-12-12=0，寫作除法記作：36÷12。故事情境與符號順利連結。

再舉兩個簡單的生活情境，讓孩子們更進一步體會除以的意思。

有6杯果汁在架上，每次拿走2杯。算式怎麼紀錄？

小嫚說完：「要被運走的是6杯果汁。」大家便停頓了一會兒思考。我加碼提示：「6杯是要被清除的數量，叫作被除數。每次都是用 裝2杯的盤子去清除。」孩子們：「那就是用2去除，所以2是除數。用2去清除6，算式是：

6÷2。」

6是要被清除的數(被除數)，2是每次清除的數量(除數)。孩子們好會跟著句型照樣造句。

另一個情境:有一大缸10公升的水，女孩說：「快來把這些水清走。」男孩拿著2公升容量的空桶說：「別急啊！我也只能一桶一桶地搬。」阿奕、阿勛說：用10去除2。根據他們的猜想，進一步解釋算式的意思：「用10公升的水，清除2公升的桶子嗎？」兩人馬上發現不對勁改口說：「那應該是用2公升的桶子清除10公升的水。用2去除１０，１０除以２。算式記作：10÷2。」

孩子們嘗試過錯誤，更知道怎麼對。

第三幕進入除法的兩種類型的討論。

24÷6，孩子們看著畫面，詮釋情境：總共有24顆蘋果，每一籃裝6顆，總共可以裝4籃。

利用乘法的方陣圖，孩子們更感覺到：每次清除6顆(裝滿1籃6顆)，總共清除4次（裝了4籃）。雖然是24÷6，但答案是用乘法想出來的。但如果是這樣分蘋果，一人拿一籃，6個小孩就會有2個分不到任何蘋果。

小嫚便說：「6個小孩，每個人手上都要有籃子。」24÷6的另一種除法的情境就自然地出場。

全部有24顆蘋果，平分給6個人，孩子們想像每人每次先拿一顆。我說：「對，這樣也是一次清除6顆(用6來除)，一樣用乘法來想出答案6x4=24。每人拿4顆。」

都是用6來清除24，24÷6，但故事大不同。

接著，請孩子們試想27÷3的兩種故事情境。

情境一：阿勛說：「 27顆蘋果，每籃裝3個，需要9個籃子裝。」

情境二：阿奕說：「27顆蘋果，平分3個籃子，用3個籃子清除27顆蘋果，每籃有9顆。」

我跟孩子們說以後遇到的除法問題，只有這兩種情境，又列了題目，讓大家練習判別。

班上有27個小孩，平分成三組。孩子們：情境二。

班上有27個小孩，每3個人一組，孩子們：情境一。

媽媽有25顆糖果，每5個裝1包。孩子們：情境一。

媽媽有25顆糖果，平分給5個小孩，孩子們：情境二。

同一個情境，也可以編成用不同的算式故事來呈現：

阿翰：「20÷5＝4 是20顆蘋果，用5個籃子來分裝，每籃裝一樣多，是4個。」

阿勛：「20÷4＝5 是20顆蘋果，每籃裝4個，可以裝5籃。」

最後談到要是以7個人來分，每個人分到8個，那麼原本一簍蘋果原本有幾個？孩子們都很快可以答出7×8＝56。又問57顆蘋果分給8個人，大家發現會剩一顆。阿奕說：「剩下那一顆，一人咬一口。」其他小孩：「噁~」。

到此，孩子們也把「除以的意思」往復思考得足夠透徹了。

我說：「分不完的問題，我們之後會再討論。」有一本完美的劇本，能跟小演員們一起互動演出，反覆咀嚼數想課本當中的繪畫與文字，是很美好又愉快的想想經驗。